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探索勾股定理范文第1篇

一、新、老課程“勾股定理”的比較

1.課程內(nèi)容的變化

新課程相對(duì)于老教材增加了“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)，并在教材中增加勾股定理的歷史的相關(guān)素材，書(shū)中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實(shí)的例子來(lái)展示勾股定理的應(yīng)用。

2.教學(xué)要求的變化

老教材對(duì)勾股定理的教學(xué)要求是：（1）使學(xué)生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能夠熟練地運(yùn)用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)，會(huì)用勾股定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形。

新課程下的勾股定理教學(xué)要求是：（1）經(jīng)歷探索勾股定理及一個(gè)三角形是直角三角形的條件的過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法，并能運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題；（3）掌握判斷一個(gè)三角形是直角三角形的條件，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題；（4）通過(guò)實(shí)例了解勾股定理的歷史和應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。

由上可知，新課程下的勾股定理在已知直角三角形兩邊求第三邊中，給出的兩邊數(shù)據(jù)相對(duì)于老教材簡(jiǎn)單得多，刪去了煩瑣的計(jì)算過(guò)程，勾股定理逆定理的理論證明，利用勾股定理的逆定理解題的數(shù)據(jù)均不會(huì)過(guò)大，通過(guò)古埃及的結(jié)繩來(lái)說(shuō)明，省去了煩瑣的證明過(guò)程。新課程中加強(qiáng)了勾股定理的實(shí)際運(yùn)用，利用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題成了重點(diǎn)，例如：“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)突出了勾股定理及逆定理的實(shí)用性。書(shū)中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實(shí)的例子，來(lái)展示它們的應(yīng)用，體現(xiàn)它們的文化價(jià)值，并且在知識(shí)發(fā)生過(guò)程中，作了較高要求。

3.課程關(guān)注點(diǎn)的變化

老課程比較關(guān)注運(yùn)用勾股定理及逆定理的相關(guān)運(yùn)算，即已知直角三角形兩邊長(zhǎng)求第三邊和判定一個(gè)三角形是否是直角三角形。新課程則強(qiáng)調(diào)了勾股定理在現(xiàn)實(shí)生活中起著重要作用，是數(shù)形結(jié)合的典范。

二、教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題及建議

1.重視實(shí)際情景

新課程創(chuàng)設(shè)實(shí)際情景，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際情景抽象出勾股定理。因此，建議為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的實(shí)際情景，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生的過(guò)程。在證明勾股定理逆定理中，可將一根繩子打上13個(gè)結(jié)，將繩子分成12等分，讓三位同學(xué)上講臺(tái)，一位同學(xué)握住第1和第13個(gè)結(jié)，一位握住第4個(gè)結(jié)，一位握第8個(gè)結(jié)，創(chuàng)設(shè)此情景，讓學(xué)生自己思考、分析，從而判斷此三角形為直角三角形，最后歸納出勾股定理逆定理。

2.重視數(shù)形結(jié)合

新教材里，勾股定理的探索和驗(yàn)證過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合有較多體現(xiàn)，滲透了代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的關(guān)系。因此，建議在教學(xué)中應(yīng)注意滲透這種思想，鼓勵(lì)學(xué)生從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。例如：在探索勾股定理過(guò)程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積想到a2、b2、c2，而在勾股定理的驗(yàn)證過(guò)程中，教師又應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)a2、b2、c2想到正方形的面積。

3.重視實(shí)際應(yīng)用

對(duì)于勾股定理，新教材不僅要求能從實(shí)際情景中抽象出勾股定理，而且要能將它用于實(shí)際問(wèn)題中，從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。因此，建議在教學(xué)中充分利用教科書(shū)中的素材讓學(xué)生體會(huì)這種應(yīng)用，如古埃及人利用結(jié)繩的方法做出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線(xiàn)等。

4.重視學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過(guò)程

新教材中安排了探索勾股定理、驗(yàn)證勾股定理、探索直角三角形的條件等活動(dòng)。因此，建議在教學(xué)中不要直接給出結(jié)論，要鼓勵(lì)學(xué)生，通過(guò)觀(guān)察、實(shí)踐、推理、交流等獲得結(jié)論，發(fā)展空間觀(guān)念和推理能力。例如教科書(shū)設(shè)計(jì)了在方格紙上通過(guò)計(jì)算面積的方法探索勾股定理的活動(dòng)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)由特殊到一般的探索得到結(jié)論。

5.重視自主探究與合作交流

新教材自始至終為學(xué)生提供自主探索、合作交流、積極思考的空間和機(jī)會(huì)，課堂上引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與探究或?qū)W習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極思維，督促每個(gè)學(xué)生都在這個(gè)過(guò)程中積極參與，從而培養(yǎng)探索與創(chuàng)新的精神。

6.重視愛(ài)國(guó)主義的滲透

探索勾股定理范文第2篇

關(guān)鍵詞：勾股定理；教科書(shū)；呈現(xiàn)方式；教學(xué)建議

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2012）04-0136-03

一、勾股定理史話(huà)概述

據(jù)史書(shū)記載，中國(guó)的大禹在治理洪水的過(guò)程中利用勾股定理測(cè)量?jī)傻氐牡貏?shì)差，是世界上有史記載的第一位與勾股定理有關(guān)的人，又有研究表明：古巴比倫時(shí)期數(shù)學(xué)泥版文獻(xiàn)中的一些幾何或代數(shù)問(wèn)題表明，勾股定理早在公元前兩千年就在兩河流域的美索不達(dá)米亞文明中得到了廣泛應(yīng)用。在中國(guó)古代，勾股定理的特例以及一般情形的敘述見(jiàn)于公元前2世紀(jì)成書(shū)的天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》“故折矩以為勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，這是說(shuō)長(zhǎng)方形當(dāng)寬3、長(zhǎng)4時(shí)，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為5，已明確直角三角形最簡(jiǎn)單的邊長(zhǎng)關(guān)系，《周髀算經(jīng)》經(jīng)文中已經(jīng)包含了勾股定理的一般證明。在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書(shū)中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書(shū)中的《勾股章》說(shuō)：“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來(lái)，再進(jìn)行開(kāi)方，便可以得到弦。”把這段話(huà)列成算式，即為：弦2=勾2+股2，即：c2=a2+b2。2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽就是趙爽所用的弦圖。劉徽的證明見(jiàn)于他的《九章算術(shù)》注“勾自為朱方，股自為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪”。劉徽原圖已失傳，清代數(shù)學(xué)家李銳（1769-1817）對(duì)其作了復(fù)原。

二、三種版本教科書(shū)中勾股定理的呈現(xiàn)方式的比較

勾股定理作為數(shù)學(xué)界的一朵奇葩，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位。因此，當(dāng)今應(yīng)用比較廣泛的三種版本教科書(shū)，分別是人民教育出版社版、北京師范大學(xué)出版社版以及華東師范大學(xué)出版社版（以下分別簡(jiǎn)稱(chēng)人教版、北師版以及華師版），對(duì)于勾股定理的講解都有著各自的特色。

1.勾股定理的引入。三版教科書(shū)在勾股定理這一章的開(kāi)始階段，都介紹了中國(guó)有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)史。從而能夠激發(fā)學(xué)生對(duì)于中國(guó)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)家的自豪感，滿(mǎn)載激情與興趣投入到新課的學(xué)習(xí)中。人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)給出了畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系。給出相應(yīng)的圖形，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)這種數(shù)量關(guān)系。加入了西方數(shù)學(xué)史內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)更加廣闊。在北師版數(shù)學(xué)教科書(shū)中，給出了一個(gè)具體的實(shí)際生活中的例子，引導(dǎo)學(xué)生自己去探討。在華師版數(shù)學(xué)教科書(shū)中，利用經(jīng)常使用的兩塊直角三角板三邊長(zhǎng)度的測(cè)量去發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的關(guān)系。良好的開(kāi)端是成功的一半。一個(gè)成功的新課引入，要包括以下幾部分：①能吸引學(xué)生的注意力；②能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；③能承上啟下，使學(xué)生有目的地進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)；④能為新課的展開(kāi)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境。人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)引入方面的設(shè)計(jì)包括了這四個(gè)部分，尤其利用畢達(dá)哥拉斯的例子，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新課的學(xué)習(xí)。

2.勾股定理的過(guò)程展示。新課講解的過(guò)程展示，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)渡與理解的重要環(huán)節(jié)。教學(xué)過(guò)程的展示就是一個(gè)體現(xiàn)材料，呈現(xiàn)語(yǔ)言、知識(shí)以及任務(wù)的過(guò)程。人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)通過(guò)趙爽弦圖體現(xiàn)了數(shù)學(xué)材料，把數(shù)學(xué)史很好的結(jié)合到了課堂中，讓同學(xué)們理解與認(rèn)識(shí)勾股定理背后的文化意義，對(duì)于學(xué)生文化素養(yǎng)的提升具有著積極的作用。北師版和華師版數(shù)學(xué)教科書(shū)則發(fā)揮了學(xué)生的主動(dòng)性，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，體現(xiàn)了新課改的主題。各教科書(shū)各有所長(zhǎng)，從不同方面讓學(xué)生認(rèn)識(shí)與理解勾股定理。

3.勾股定理的習(xí)題設(shè)計(jì)。習(xí)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固與升華的重要環(huán)節(jié)。在三版數(shù)學(xué)教科書(shū)中，習(xí)題設(shè)計(jì)都和實(shí)際生活相聯(lián)系，也就是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。勾股定理的證明方法有很多種，人教版與華師版數(shù)學(xué)教科書(shū)直接就給出了一般的習(xí)題，而北師版數(shù)學(xué)教科書(shū)則加入了數(shù)學(xué)史，比如，“如圖是美國(guó)總統(tǒng)Garfield于1876年給出的一種驗(yàn)證勾股定理的辦法，你能利用它驗(yàn)證勾股定理嗎？”，“意大利文藝復(fù)興時(shí)代的著名畫(huà)家達(dá)芬奇對(duì)勾股定理也曾進(jìn)行了研究”等等。這就多了精神與文化層次的內(nèi)容，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及對(duì)文化發(fā)展的探索。課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。因此，習(xí)題的功能也應(yīng)與之相匹配。而數(shù)學(xué)史的融入能夠起到很好的促進(jìn)作用，讓學(xué)生帶著對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)與探索，去自主發(fā)現(xiàn)、實(shí)踐、探索與交流知識(shí)，從而極大的促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，自己也能發(fā)現(xiàn)與得到偉大數(shù)學(xué)家探索到的知識(shí)。

4.勾股定理的閱讀材料。數(shù)學(xué)教材中閱讀材料內(nèi)容豐富、圖文并茂，集趣味性、知識(shí)性、史料性、教育性于一身，是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充和拓展，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育的極好內(nèi)容。因此，好的全面的閱讀材料對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到極大的推動(dòng)作用。人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)中的閱讀材料是勾股定理的證明，涉及了畢達(dá)哥拉斯的證明、弦圖的另一種證明以及美國(guó)總統(tǒng)Garfield對(duì)勾股定理的證明。北師版數(shù)學(xué)教科書(shū)的每一小節(jié)后，都有相應(yīng)的數(shù)學(xué)閱讀材料供學(xué)生閱讀，涉及到了勾股世界、勾股定理的“無(wú)字證明”以及勾股組數(shù)與費(fèi)馬大定律，讓學(xué)生能夠全面地了解勾股定理的文化背景。華師版數(shù)學(xué)教科書(shū)中閱讀材料包括勾股定理史話(huà)和美麗的勾股數(shù)。其共同特點(diǎn)是通過(guò)閱讀材料，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育，滲透了德育教育，從而使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家的成就產(chǎn)生自豪感，從而起到督促自己學(xué)習(xí)的作用。不同的就是材料的選取，人教版的閱讀材料僅從證明方面對(duì)勾股定理作了補(bǔ)充介紹，而北師版和華師版閱讀材料涉及的面很廣，不僅介紹了勾股定理的證明，更多地體現(xiàn)出了勾股定理發(fā)現(xiàn)與發(fā)展這一長(zhǎng)遠(yuǎn)歷史背后的文化，讓學(xué)生能夠整體把握勾股定理的發(fā)展歷程。

三、勾股定理的教學(xué)建議

新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念之一是要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。在這個(gè)理念的倡導(dǎo)下，各版數(shù)學(xué)教科書(shū)的各個(gè)板塊都蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史文化。人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)在引入方面設(shè)計(jì)得很好，但是在過(guò)程展示中沒(méi)有體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性。因此，當(dāng)數(shù)學(xué)教師講解趙爽弦圖時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生自己去證明。從而使學(xué)生經(jīng)歷思考的過(guò)程，對(duì)知識(shí)的理解也更深刻。習(xí)題的講解中，教師應(yīng)多融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生鉆研的精神，習(xí)題也不再干枯無(wú)趣，而是充滿(mǎn)了樂(lè)趣與挑戰(zhàn)。人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)閱讀材料有些片面，這就要求教師要具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)史知識(shí)，要掌握勾股定理的整個(gè)發(fā)展歷程，從而把數(shù)學(xué)史融入課堂。北師版數(shù)學(xué)教科書(shū)整體設(shè)計(jì)得很好，唯一不足就是過(guò)程展示中沒(méi)能很好的體現(xiàn)材料，教材中只利用了兩個(gè)直角三角板三邊長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果去找尋三邊的關(guān)系，教師可以加入古埃及人利用繩子打結(jié)得到直角三角形的例子，然后在引導(dǎo)學(xué)生去測(cè)量直角三角板三邊的長(zhǎng)度。北師版數(shù)學(xué)教科書(shū)習(xí)題設(shè)計(jì)得很有水平，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)與利用這些習(xí)題，從而更好的促進(jìn)教學(xué)。華師版數(shù)學(xué)教科書(shū)也是在過(guò)程展示中沒(méi)能很好地體現(xiàn)材料，也利用了測(cè)量直角三角形三邊長(zhǎng)。接著又提到了正方形瓷磚拼成的地面這個(gè)例子，僅僅這樣去講解這個(gè)例子，顯得很枯燥，可以加入一些中西方的數(shù)學(xué)史增加趣味，活躍課堂氣氛，達(dá)到良好的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)史對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有著積極的推動(dòng)作用，能夠激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程以及數(shù)學(xué)家的探索精神，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此，不管是哪版教科書(shū)，只是起到數(shù)學(xué)教學(xué)載體的作用，教師可以參考教材，但不能完全依賴(lài)教材。這就需要教師具有良好的數(shù)學(xué)涵養(yǎng)，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)背后的歷史與文化有充分的認(rèn)識(shí)，從而才能很好地適應(yīng)與投入到新課程改革中，才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的人文價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]林群.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)下）[M].北京：人民教育出版社，2008.

探索勾股定理范文第3篇

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)活動(dòng)；動(dòng)手操作；合作交流；數(shù)形結(jié)合

教材簡(jiǎn)介：

本課教材選自蘇科版《數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)（八上）》初中數(shù)學(xué)教材中勾股定理與平方根一節(jié)。

教材分析：

勾股定理是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的定理，之前學(xué)生們運(yùn)用方格紙，通過(guò)計(jì)算面積的方法探索了勾股定理。本課不只要求學(xué)生掌握驗(yàn)證方法，更重要的是通過(guò)豐富有趣的拼圖活動(dòng)，通過(guò)教師的指導(dǎo)、同伴的合作和學(xué)生親自動(dòng)手剪紙、拼圖、驗(yàn)證等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，體會(huì)勾股定理的數(shù)學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值。

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷綜合運(yùn)用已有知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，在此過(guò)程中加深對(duì)勾股定理、整式運(yùn)算、面積等的認(rèn)識(shí)。

2.經(jīng)歷不同的拼圖方法驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，體驗(yàn)解決同一問(wèn)題方法的多樣性，進(jìn)一步體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。

3.通過(guò)獲得成功的體驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。通過(guò)豐富有趣的拼圖活動(dòng)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過(guò)拼圖驗(yàn)證勾股定理及勾股定理的應(yīng)用過(guò)程，使學(xué)生獲得一些研究問(wèn)題與合作交流的方法經(jīng)驗(yàn)。

難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的方法驗(yàn)證勾股定理。

教學(xué)方法：

引導(dǎo)、操作、合作、探究，多媒體輔助教學(xué)

教學(xué)過(guò)程：

本節(jié)課主要是通過(guò)幾個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生體驗(yàn)并探究勾股定理的一些驗(yàn)證方法，首先通過(guò)情景創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生探究的激情。

情境創(chuàng)設(shè)：

1.你知道勾股定理的內(nèi)容嗎？說(shuō)說(shuō)看。

畫(huà)直角三角形并寫(xiě)出勾股定理的表達(dá)式。

2.你知道關(guān)于勾股定理的哪些歷史故事？你知道勾股定理的來(lái)歷和有多少種證法嗎？

課件展示畢達(dá)哥拉斯的雕像圖片和地磚圖片，講述畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的故事。

3.前面我們運(yùn)用方格紙，通過(guò)計(jì)算面積的方法探索了勾股定

理。今天我們?cè)賮?lái)探究勾股定理的其他驗(yàn)證方法。

活動(dòng)一：

活動(dòng)準(zhǔn)備：用硬紙板各剪4個(gè)完全相同的直角三角形（不妨設(shè)兩直角邊分別為a、b，且a≤b，斜邊為c），再剪2個(gè)邊長(zhǎng)分別為c和（b-a）的正方形。

活動(dòng)要求：你能選用這些中的部分圖形拼成一個(gè)大正方形嗎？

你能用拼成的圖形驗(yàn)證勾股定理嗎？

學(xué)生小組合作交流探究并展示。（了解學(xué)生拼圖的情況及利用自己的拼圖驗(yàn)證勾股定理的情況。教師在巡視過(guò)程中，相機(jī)指導(dǎo)，并讓學(xué)生展示自己的拼圖及讓學(xué)生講解驗(yàn)證勾股定理的方法，并根據(jù)不同學(xué)生的不同狀況給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生整理結(jié)論。）

通過(guò)對(duì)弦圖的分析，得到面積的關(guān)系

c2=（b－a）2＋4ab 化簡(jiǎn)得：a2+b2=c2

課件介紹三國(guó)時(shí)期東吳人趙爽的“勾股圓方圖”，也稱(chēng)為“弦圖”，并出示趙爽弦圖和世界數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)。

活動(dòng)二：

四個(gè)直角三角形還可以怎么擺成正方形呢？

學(xué)生先獨(dú)立探究，再小組活動(dòng)交流，并上黑板展示拼圖方法和驗(yàn)證：由面積關(guān)系得到：（a+b）2＝c2＋4× ab，化簡(jiǎn)得：a2+b2=c2。

活動(dòng)三：

你能用兩個(gè)直角邊分別為a、b，且a≤b，斜邊為c的直角三角形和一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形拼圖并驗(yàn)證勾股定理嗎？

如圖：兩個(gè)全等的直角三角形ABC和BEF的三邊長(zhǎng)分別為a、

b、c可得面積關(guān)系 （a+b）2＝ c2＋2× ab

化簡(jiǎn)得：a2+b2=c2

課件介紹：“總統(tǒng)證法”――美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德。

活動(dòng)總結(jié)交流：活動(dòng)二和活動(dòng)三的證法其實(shí)完全相同。

課件展示與欣賞畢達(dá)哥拉斯證法和印度婆什迦羅的證明，并讓學(xué)生展示課前查找資料了解到的證明方法。

活動(dòng)四：制作五巧板驗(yàn)證勾股定理。

步驟：

1.做一個(gè)RtABC，以斜邊AB為邊向內(nèi)做正方形ABDE，并在正方形內(nèi)畫(huà)圖，使DFBI，CG=BC，HGAC，這樣就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。

沿這些線(xiàn)剪開(kāi)，就得了一幅五巧板。

2.取兩幅五巧板，將其中的一幅拼成一個(gè)以C為邊長(zhǎng)的正方

形，將另外一幅五巧板拼成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形，你能拼出來(lái)嗎？（給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行拼圖、思考、交流經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于有困難的學(xué)生教師要給予適當(dāng)引導(dǎo)。）

歸納小結(jié)，形成技能。今天這節(jié)課你有何收獲？

（如驗(yàn)證勾股定理的方法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、我國(guó)古代科學(xué)家的成就、合作交流的方法與經(jīng)驗(yàn)………）

課后作業(yè)：

上網(wǎng)查找有關(guān)利用拼圖來(lái)驗(yàn)證勾股定理證明的方法，每人至少能說(shuō)出一種與本課提到的不一樣的方法，若有好的方法可用小論文的形式寫(xiě)出來(lái)。

教學(xué)反思：

本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生通過(guò)制作拼圖，通過(guò)動(dòng)手操作，合作交流，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，讓學(xué)習(xí)內(nèi)容問(wèn)題化，讓教材成為學(xué)生核心學(xué)習(xí)活動(dòng)鮮活的材料。

探索勾股定理范文第4篇

【關(guān)鍵詞】勾股定理；體驗(yàn)探究；勾股定理的證法；剪切拼圖法；風(fēng)車(chē)證法；勾股數(shù)組

一、創(chuàng)設(shè)思維情境，引出并體驗(yàn)勾股定理

數(shù)學(xué)教學(xué)是師生之間、同學(xué)之間交流、互動(dòng)與共同發(fā)展的過(guò)程.我們的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探究、交流，主動(dòng)地豐富自己的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力。為此，在我的教學(xué)過(guò)程中將自己所任課的班分成5個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組，各組有人負(fù)責(zé)，并聘請(qǐng)老師參加和指導(dǎo)。

勾股定理是一個(gè)古老而有趣的問(wèn)題，幾乎每位同學(xué)都知道“勾三股四弦五”這個(gè)定理的特例。即若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，斜邊長(zhǎng)為5，則存在32+42=52這種關(guān)系。

在RtABC中，記AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2這種關(guān)系呢？為體驗(yàn)這個(gè)事實(shí)，我們?cè)僮餍┲苯侨切危y(cè)量所求結(jié)果。

（1）a=5，b=12，c=___.

（2）a=2，b=4，c=___.（精確到0.1）

（3）a=6，c=10，b=___.

（4）b=24，c=25，a=___.

第（1）、（2）題，作直角三角形，測(cè)量的結(jié)果分別是13，4.5，第三題可先作直徑為10的半圓，量出弦BC=6，測(cè)得b=8，且∠ACB為直角。第（4）題與第三題類(lèi)同，測(cè)得a=7。

體驗(yàn)是“人們存在的方式”，是人的“素質(zhì)形成與發(fā)展的核心環(huán)節(jié)”，只有讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷體驗(yàn)，才會(huì)激起學(xué)生無(wú)休止的好奇心、探索欲和創(chuàng)造力。經(jīng)過(guò)上述反復(fù)體驗(yàn)，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b為直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)，則：a2+b2=c2。

進(jìn)而得到勾股定理的逆定理：在A(yíng)BC中，三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若a2+b2=c2，則：ABC為直角三角形。

二、探究勾股定理的證明

老師可提前布置各小組同學(xué)，去尋找勾股定理的不同證法和廣泛應(yīng)用。在數(shù)學(xué)課（或研究課）上，各小組可指派代表發(fā)言和演示，給出他們研究和探索的結(jié)果，經(jīng)過(guò)師生互相交流，大家對(duì)勾股定理的證明和應(yīng)用全面認(rèn)識(shí)和深刻的理解。總結(jié)各小組的證法如下：

證法一：將四個(gè)全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖1）如大正方形的面積與四個(gè)直角三角形的面積之和，則有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2

證法二：將四個(gè)全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖2），則：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2

證法三：將并排的兩個(gè)正方形進(jìn)行割補(bǔ)（如圖3）將剪掉的標(biāo)有1、2、3的三角形填補(bǔ)，在大正方形的1、2、3處。由面積等式，則：a2+b2=c2

證法四：利用射影定理證明，在RtABC中，由射影定理：

AC2=AD?AB，BC2=DB?AB

AC2+BC2=AD?AB+DB?AB

=AB（AD+DB）

=AB2

下面給出比較著名的兩個(gè)證法――證法五（如圖4）和證法六（如圖5）

在圖4中，因?yàn)榉指铋L(zhǎng)直角邊上的正方形，使其形如風(fēng)車(chē)，所以這一方法稱(chēng)為“風(fēng)車(chē)證法”。“風(fēng)車(chē)證法”的剪拼步驟如下（如圖6）：

作正方形的中心O；

過(guò)O做直線(xiàn)垂直AB交正方形的兩邊與M、N；

過(guò)O做直線(xiàn)垂直MN交正方形的另外兩邊與P、Q；

沿線(xiàn)段MN、PQ剪開(kāi)即可。

至于為什么MN要垂直AB，我可以從平移變換的角度來(lái)考慮。簡(jiǎn)單的說(shuō)，那是因?yàn)樗倪呅蜝MOP經(jīng)平移變?yōu)镚FAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。

在眾多剪拼方法和證明方法中，有的人還提出了一些不夠直觀(guān)甚至是錯(cuò)誤的方法，對(duì)于這些方法也不要輕易放棄，教師要珍重每位同學(xué)構(gòu)思出來(lái)的方法。即使做法和結(jié)論是錯(cuò)誤的，我們也要找出錯(cuò)誤的原因，從中吸取經(jīng)驗(yàn)和受到啟發(fā)。要通過(guò)觀(guān)察、思考、動(dòng)手試驗(yàn)等過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生不斷探究新的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法。

三、勾股數(shù)組

我們把滿(mǎn)足x2+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)x、y、z叫勾股數(shù)。（x、y、z）叫做勾股數(shù)組。如果（x，y，z）=1，則這樣的勾股數(shù)組叫做基本勾股數(shù)組。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股數(shù)組，而（6，8，10）不是基本勾股數(shù)組.容易看出，若（x，y，z）是一個(gè)基本勾股數(shù)組，則（kx、ky，kz）都是勾股數(shù)組。

我們把邊長(zhǎng)為勾股數(shù)的三角形叫做勾股三角形。這里我們又得到另一個(gè)應(yīng)用。

定理：勾股三角形的內(nèi)切圓的半徑一定是整數(shù).

證明：設(shè)RtABC的內(nèi)切圓半徑為r，則r=■

由于勾股數(shù)a、b、c不能同時(shí)為奇數(shù)，所以a+b-c為偶數(shù)，從而r為整數(shù)。

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題規(guī)律性很強(qiáng)，我們總希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股數(shù)組，這里將我們師生探究勾股數(shù)得到的結(jié)論給出來(lái)。設(shè)Rt的直角邊長(zhǎng)為x，y，斜邊長(zhǎng)為z，且n，s，t都是正整數(shù)，則勾股數(shù)組有兩類(lèi)：

x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2

列表如下：

從表中我們發(fā)現(xiàn)，第一類(lèi)勾股數(shù)滿(mǎn)足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二類(lèi)勾股數(shù)組不是基本的，但它對(duì)第一類(lèi)給以補(bǔ)充。我們還發(fā)現(xiàn)許多有趣的結(jié)論，如：x，y，z不可能都是奇數(shù)，它們中可以有一個(gè)偶數(shù)或全部是偶數(shù)。再如：（x，y，z）是基本勾股數(shù)組，則x，y中必有一個(gè)能被3整除，等等。

在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，給我們帶來(lái)的啟示很多，首先是這個(gè)古老問(wèn)題有探究不盡的課題。它的不同證法，廣泛的應(yīng)用以及勾股數(shù)的趣味性給我們拓寬了眼界，打通了思路，不僅是對(duì)知識(shí)的傳承，更多的是激發(fā)了我們師生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，獲得更多更好的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，提高了空間想象能力和創(chuàng)造性思維。

【參考文獻(xiàn)】

探索勾股定理范文第5篇

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課以勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題為載體，通過(guò)對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，幫助學(xué)生形成應(yīng)用意識(shí)，其應(yīng)用的廣泛性讓學(xué)生激發(fā)出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，能讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的快樂(lè).

二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 情境引入

師：暑假里我走過(guò)兩座橋――潤(rùn)揚(yáng)大橋和南京長(zhǎng)江三橋（多媒體顯示兩座橋的圖片），這兩座橋的夜景非常美麗，我們來(lái)仔細(xì)觀(guān)察一下，這兩座橋有什么共同的特征？

這兩座橋都是斜拉橋，斜拉橋的索塔、橋面與拉索組成許多直角三角形，如果我們知道了索塔的高，怎樣計(jì)算拉索的長(zhǎng)呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理的應(yīng)用――生活篇.（師板書(shū)課題：2.7勾股定理的應(yīng)用）

2. 簡(jiǎn)單應(yīng)用

師：到了南京第二天，我決定去游玩玄武湖，到達(dá)中央路時(shí)，我發(fā)現(xiàn)玄武湖東西向隧道與中央路北段及龍?bào)绰反笾鲁芍苯侨切危ㄈ鐖D1）. 從B處到C處，如果直接走湖底隧道BC，將比繞道BA（約1.36千米）和AC（約2.95千米）減少多少行程（精確到0.1千米）？

生1：根據(jù)勾股定理可以求出BC的長(zhǎng)度，然后用AB與AC的和減去BC，所得的結(jié)果就是減少的行程.

評(píng)析 這是一次旅行，由公路與隧道引出，貼近學(xué)生的生活，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索下去的興趣. 引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察路線(xiàn)的最佳選擇方案，通過(guò)運(yùn)用勾股定理，從而解決實(shí)際的問(wèn)題.

師：進(jìn)入玄武湖，我們看到幾只小鳥(niǎo)停在樹(shù)上歡快地歌唱，其中一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)飛到了另外一棵樹(shù)上. 這兩棵樹(shù)之間相距12米，一棵樹(shù)高16米，另一棵樹(shù)高11米，那么這只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端至少要多少米呢？

生2：作輔助線(xiàn)得到直角三角形，可以求出兩條直角邊分別為5米和12米，由勾股定理可以求出小鳥(niǎo)飛行的最短距離為13米.

評(píng)析 對(duì)于沒(méi)有直接給出直角三角形的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)已知條件在圖形中構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題.

3. 深層拓展

師：我們繼續(xù)前行，看到滿(mǎn)池的荷花，忽然想到南宋詩(shī)人楊萬(wàn)里的一首絕句“接天蓮葉無(wú)窮碧，映日荷花別樣紅”. 在池塘邊有幾個(gè)游人正在那里摘荷葉，由于靠岸邊的荷葉都已經(jīng)被摘掉了，只能去采摘離岸更遠(yuǎn)的荷葉. 這一幅場(chǎng)景讓我想起了《九章算術(shù)》里的一道題目，叫作“引葭赴岸”.

“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”

“有一個(gè)池塘，其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺. 如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B′. 水深和蘆葦長(zhǎng)各多少尺？”

生3：可以看出這個(gè)圖形（圖2）里有直角三角形ACB′，但只知道CB′的長(zhǎng)度為5，還有AC與AB′的關(guān)系，可以設(shè)AC = x，則AB′ = x + 1，利用勾股定理可以求出x的值.

評(píng)析 選用這個(gè)問(wèn)題作為勾股定理深層拓展的主要原因有二：其一，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的討論，學(xué)生可以進(jìn)一步了解我國(guó)古代人民的聰明才智和勾股定理的悠久歷史；其二，這個(gè)問(wèn)題是引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的一個(gè)載體. 在這個(gè)題目的教學(xué)中，不僅要關(guān)注勾股定理的應(yīng)用，而且要把教學(xué)的重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生感悟求解這個(gè)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

師：我們租了兩條游船，開(kāi)始游覽玄武湖.一船沿北偏西60°方向行駛，速度是6千米/小時(shí)，一船沿南偏西30°方向行駛，速度是8千米/小時(shí). 經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間我們兩船之間的距離正好是20千米呢？

生4：設(shè)時(shí)間為t，可知OA = 6t，OB = 8t，利用勾股定理得到（6t）2 + （8t）2 = 400，求出t = 2小時(shí).

評(píng)析 這個(gè)問(wèn)題同樣是只知道一個(gè)量，需要借助于時(shí)間這個(gè)未知量來(lái)建立方程，從而解決問(wèn)題.

4. 鞏固訓(xùn)練

師：經(jīng)歷了這一次南京之旅，我們學(xué)到了很多知識(shí)，下面讓我們運(yùn)用這些知識(shí)來(lái)解決這樣一道生活中的問(wèn)題.

如圖3，一架長(zhǎng)為10米的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米. 如果梯子的頂端下滑1米，那么它的底端是否也滑動(dòng)1米？

評(píng)析 學(xué)生經(jīng)過(guò)前面兩題的訓(xùn)練已經(jīng)掌握了此類(lèi)題目的解法，即找出兩個(gè)量之間的關(guān)系，從而根據(jù)勾股定理列出方程，解決實(shí)際中的問(wèn)題. 通過(guò)本題加深學(xué)生對(duì)勾股定理應(yīng)用的理解.

5. 提升總結(jié)

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)勾股定理有怎樣的新的認(rèn)識(shí)？你有什么收獲？

評(píng)析 讓學(xué)生再一次回顧勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，總結(jié)本節(jié)課中所用到的數(shù)學(xué)思想方法. 將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而通過(guò)勾股定理來(lái)解決. 6. 課后延伸

作業(yè)：課本67頁(yè)習(xí)題2.7第1題，第2題，第4題.